直觉的欺骗

　　问题一：我已经有一个儿子，请问我再生一个儿子的概率是多少？
　　答案：1/2

　　问题二：我已经有两个不同龄的孩子，其中一个是儿子，请问我有两个儿子的概率是多少？
　　答案：1/3

　　问题三：我已经有两个不同龄的孩子，其中一个儿子出生在星期二，请问我有两个儿子的概率是多少？
　　答案：13/27

　　这三个问题很有趣，Keith Devlin给出了详细的解释，但我还是愿意再次梳理一下。

　　问题一的答案几乎可以通过直觉给出，因为生男生女的概率是一样的。大多数人认为问题二也是1/2，但是直觉已经开始变得不可靠，我们可以给出两个孩子的性别组合：BB，GG，BG，GB，一共四种可能，排除掉GG，那么BB的可能性降为1/3。

　　问题三和问题二类似，仅仅多了出生日期。最初的直觉告诉我，出生日期不会是影响结果的因素。UNIX之父Ken Thompson有一句名言：“When in doubt，use brute force”，为了印证，让我们来用暴力对抗直觉。每一个孩子有14种可能性（一周的天数乘以性别数）。如果第一个男孩出生在星期二，那么第二个孩子的可能性是：B-Mo，B-Tu，B-We，B-Th，B-Fr，B-Sa，B-Su，G-Mo，G-Tu，G-We，G-Th，G-Fr，G-Sa，G-Su，一共14种。如果第二个男孩出生在星期二，那么第一个孩子的可能性是B-Mo，B-We，B-Th，B-Fr，B-Sa，B-Su，G-Mo，G-Tu，G-We，G-Th，G-Fr，G-Sa，G-Su，注意，少了一个B-Tu，因为这种情况已经算在上一轮组合中，一共有13种。总共有27个可能性，数一下，两个儿子的组合数是13，所以答案是13/27。

　　以上是Keith Devlin给出的解释。现在我的问题来了，为什么仅仅多了一个看似无关紧要的出生日期，概率就从1/3大大提高到几乎是一半的13/27？Keith Devlin没有继续发挥，所以我想尝试着解释一下。

　　问题三不变，我们只是假定一个星期只有四天，那么答案将是7/15；如果假定一个星期有九天，那么答案将是17/35。从中我们可以发现一个规律，假定一个星期是N天，那么答案将是(2*N-1)/(4*N-1)。如果N趋向于无限大，那么结果将无限趋近1/2，结果类同问题一，但性质可能不一样。假定一个星期只有一天，N等于1，那么结果就是1/3，这和问题二是等价命题。

　　我们再反过来分析第二个问题，它没有限定日期。但如果用星期来标号的话，第一个孩子的可能性是14种，第二个孩子的可能性也是14种，排列组合一下，共有14乘以14也就是196个序列。这196个序列中，BB有49个，GG有49个，BG有49个，GB有49个。如果限定了其中一个儿子出生在星期二，那么就排除掉BB、BG、GB中大部分序列，仅仅剩下27个，样本空间大大减少，那么概率也就提高了。

　　课后作业：我已经有两个不同龄的孩子，其中一个儿子出生在一月十一日，请问我有两个儿子的概率是多少？这就相当于一个星期有三百六十五天，那么概率很接近1/2吧？我不敢想下去，感觉偏离直觉太远。也许是什么地方错了，请大家告诉我。